Tröghetsmoment

Denna artikel handlar om en kropps motstånd mot rotationsändring. För en kropps motstånd mot böjning, se böjtröghetsmoment.

Tröghetsmoment är ett mått på motståndet att accelerera en kropps rotation. Tröghetsmomentet betecknas med I eller J, och används för att beskriva stela kroppars dynamik. Tröghetsmomentet har samma roll i rotationsrörelser som massa har för translationsrörelse. Tröghetsmoment introducerades av Euler.

Tröghetsmomentet för rotation runt en given axel beror av kroppens form och hur massan är fördelad i kroppen:

där r_i är avståndet från masselementet m_i till den givna rotationsaxeln.

Liksom moment varierar tröghetsmomentet beroende på referenssystemet, men genom att bestämma en kropps tröghetsmoment med avseende på en axel genom masscentrum kan sedan parallellaxelsatsen,

användas för att omvandla tröghetsmomentet med avseende på godtycklig axel (parallell med den första) på avståndet d från masscentrum.

För kontinuerliga massfördelningar används integralen

dm är det kontinuerliga masselementet från ett volymselement,

där ρ är densiteten.

Tröghetstensorn

Tröghetsmoment mer generellt, när axeln inte är given, beskrivs av andra ordningens tensor (matris) I = I_ij:

<math>\bar{\bar{I}} = m(R\cdot R\bar{\bar{1}} - RR) =

\begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} </math> För en stel kropp är tröghetstensorn summan av varje partikels moment: m → m_i, R → R_i. Elementen I_ii kallas för tröghetsmoment, medan elementen I_ij, i ≠ j, kallas för tröghetsprodukter.

Tröghetstensorn beräknas så här:

<math>I_{11} = I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\! </math>

<math>I_{22} = I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!</math>

<math>I_{33} = I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!</math>

<math>I_{12} = I_{xy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} y_{k},\,\!</math>

<math>I_{13} = I_{xz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} z_{k},\,\!</math>

<math>I_{23} = I_{yz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} y_{k} z_{k},\,\!</math>

och <math>I_{12}=I_{21}</math>, <math>I_{13}=I_{31}</math>, och <math>I_{23}=I_{32}</math>. (<math>I</math> är alltså en symmetrisk tensor.)

Här betecknar <math>I_{xx}</math> tröghetsmomentet runt x-axeln vid rotation runt samma axel, medan <math>I_{xy}</math> betecknar tröghetsmomentet runt y-axeln vid rotation runt x-axeln, och så vidare.

Troghetstensorns form beror på valet av koordinatsystem för x,y,z. Det finns alltid ett val av koordinatsystem så att tröghetsmomentet kan skrivas

<math>\bar{\bar{I}} =

\begin{bmatrix} I_{xx} & 0 & 0\\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{bmatrix}. </math> Detta moment motsvarar ett koordinatsystem som sammanfaller med principalaxlarna. Genom att välja principalaxlar fås ett tröghetsmoment som bara innehåller diagonalelement. Alternativt kan tröghetsmomentet diagonaliseras för att hitta principalaxlarna.

Exempel

**Formler för tröghetsmoment i vanligt förekommande homogena kroppar med massa m.**
	<math>I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)</math>^[1] <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> Ur detta kan man få tröghetsmomentet för några specialfall: Tunn stav (<math>r_1 \approx r_2 \approx 0</math>): <math>I_z = 0 \ </math> <math>I_x = I_y = \frac{m L^2}{12}</math> Cylinderskal (<math>r_1 \approx r_2</math>): <math>I_z = m r^2 \ </math> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(6r^2+h^2\right)</math> Ring (<math>r_1 \approx r_2, h \approx 0</math>): <math>I_z = m r^2 \ </math> <math>I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}</math>
	Tunn stav, fastsatt i ena ändpunkten: <math>I = \frac{1}{3} m L^2</math>
	Rektangulär bricka med sidorna a och b, fastsatt i brickans mitt: <math>I = \frac{1}{12} \cdot m \cdot (a^2 + b^2)</math>
	En rektangulär bricka med längden L och försumbar bredd, fastsatt i ena ändan: ^{[förtydliga]} <math>I = \frac{1}{3} \cdot m \cdot L^2</math>
	Ett massivt klot med radie R, fastsatt så att rotationsaxeln går genom klotets centrum: <math>I = \frac{2}{5} \cdot m \cdot R^2</math> Ett klotformat skal (klot med inre radie r ≈ R): <math>I = \frac{2}{3} \cdot m \cdot R^2</math>

Källor

Noter

↑ Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder. LivePhysics.com. Läst: 18 februari 2010

af:Traagheidsmoment ar:عزم العطالة be:Момант інерцыі be-x-old:Момант інэрцыі bg:Масов инерционен момент bs:Moment inercije ca:Moment d'inèrcia cs:Moment setrvačnosti da:Inertimoment de:Trägheitsmoment et:Inertsimoment el:Ροπή αδράνειας en:Moment of inertia es:Momento de inercia eo:Inercimomanto eu:Inertzia momentu fa:ممان اینرسی fr:Moment d'inertie gl:Momento de inercia ko:관성 모멘트 hi:जड़त्वाघूर्ण hr:Moment inercije id:Momen inersia is:Hverfitregða it:Momento di inerzia he:מומנט התמד ka:ინერციის მომენტი kk:Инерция моменті ht:Moman inèsi lt:Inercijos momentas hu:Tehetetlenségi nyomaték ms:Momen inersia nl:Traagheidsmoment ja:慣性モーメント no:Treghetsmoment pl:Moment bezwładności pt:Momento de inércia ro:Moment de inerție ru:Момент инерции sq:Momenti i Inercisë simple:Moment of inertia sk:Moment zotrvačnosti sl:Vztrajnostni moment sr:Момент инерције fi:Hitausmomentti ta:நிலைமத் திருப்புத்திறன் tr:Eylemsizlik momenti uk:Момент інерції vi:Mô men quán tính zh:轉動慣量

[1] Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder. LivePhysics.com. Läst: 18 februari 2010

[1]